삼각함수
1. $\theta=\frac{2}{3}\pi$일 때, $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
각 $\theta=\frac{2}{3}\pi$를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 $P$라 하고,
점 $P$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\overline{OP}=1$이고,
$\angle{POH}$는 $\frac{2}{3}\pi-\frac{1}{2}\pi°=120°-90°=30°$이므로
$1:\sqrt{3}:2=\overline{PH}:\overline{OH}:\overline{PO}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1$,
점 $P$의 좌표는 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$이다.
따라서 $\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}$,
$\tan\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\sqrt{3}$
[답]
$\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}$,
$\tan\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\sqrt{3}$
2. $\cos\theta>0$, $\tan\theta<0$을 만족시키는 각 $\theta$는 제몇 사분면의 각인지 말하시오.
[풀이과정]
$\cos\theta>0$이므로 각 $\theta$는 제$1$사분면의 각 또는 제$4$사분면의 각
$\tan\theta<0$이르모 각 $\theta$는 제$2$사분면의 각 또는 제$4$사분면의 각
[답]
제$4$사분면의 각
3. 각 $\theta$가 제$3$사분면의 각이고 $\cos\theta=-\frac{3}{4}$일 때, $\sin\theta$, $\tan\theta$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$에서
$\qquad\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$
이때 각 $\theta$가 제$3$사분면의 각이므로 $\quad\sin\theta<0$
따라서 $\sin^2\theta=\frac{7}{16}$에서 $\quad\sin\theta=-\frac{\sqrt{7}}{4}$
또 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$이므로 $\quad\tan\theta=\frac{\sqrt{7}}{3}$
[답]
$\sin\theta=-\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan\theta=\frac{\sqrt{7}}{3}$
4. $\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$일 때, $\sin\theta\cos\theta$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$의 양변을 제곱하면 $\quad\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+cos^2\theta=\frac{1}{4}$
$\sin^2\theta+cos^2\theta=1$이므로 $\qquad2\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{4}\qquad\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{8}$
[답]
$-\frac{3}{8}$
삼각함수의 그래프
1. $y=\sin2x$ 함수의 주기와 치역을 구하시오.
[풀이과정]
$f(x)=\sin2x$라 하면 $f(x)=\sin2x=\sin(2x+2\pi)=\sin2(x+\pi)=f(x+\pi)$
$f(x)=f(x+\pi)$이므로 주기는 $\pi$
$-1\le\sin2x\le1$이므로 치역은 $\{y|-1\le{y}\le1\}$
[답]
주기: $\pi$
치역: $\{y|-1\le{y}\le1\}$
2. $y=\cos2x$ 함수의 주기와 치역을 구하시오.
[풀이과정]
$f(x)=\cos2x$라 하면 $f(x)=\cos2x=\cos(2x+2\pi)=\cos2(x+\pi)=f(x+\pi)$
$f(x)=f(x+\pi)$이므로 주기는 $\pi$
$-1\le\cos2x\le1$이므로 치역은 $\{y|-1\le{y}\le1\}$
[답]
주기: $\pi$
치역: $\{y|-1\le{y}\le1\}$
3. $y=\tan2x$ 함수의 주기와 점근선의 방정식을 구하시오.
[풀이과정]
$f(x)=\tan2x$라 하면 $f(x)=\tan(2x+\pi)=\tan2(x+\frac{\pi}{2})=f(x+\frac{\pi}{2})$
$f(x)=f(x+\frac{\pi}{2})$이므로 주기는 $\frac{\pi}{2}$
점근식의 방정식은 $x=\frac{1}{2}(n\pi+\frac{\pi}{2})=\frac{n}{2}\pi+\frac{\pi}{4}$($n$은 정수)
[답]
주기: $\pi$
점근식의 방정식: $\frac{n}{2}\pi+\frac{\pi}{4}$($n$은 정수)
4. 방정식 $\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$을 푸시오. (단, $0\le{x}<2\pi$)
[풀이과정]
구하는 방정식의 해는 함수 $y=\sin{x}$의 그래프와
직선 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$의 교점의 $x$좌표와 같으므로
$x=\frac{\pi}{3}$ 또는 $x=\frac{2}{3}\pi$
[답]
$x=\frac{\pi}{3}$ 또는 $x=\frac{2}{3}\pi$
5. 부등식 $\cos{x}=\frac{1}{2}$을 푸시오. (단, $0\le{x}<2\pi$)
[풀이과정]
구하는 부등식의 해는 함수 $y=\cos{x}$의 그래프가
직선 $y=\frac{1}{2}$보다 아래쪽에 있는 부분의 $x$의 값의 범위와 같으므로
$\frac{\pi}{3}<x\frac{5}{3}\pi$
[답]
$\frac{\pi}{3}<x\frac{5}{3}\pi$
6. 삼각함수 $\tan\frac{5}{6}\pi$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
$\tan\frac{5}{6}\pi=\tan(\pi-\frac{\pi}{6})=\tan(-\frac{\pi}{6})=-\tan\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
[답]
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
사인법칙과 코사인법칙
1. 삼각형 $ABC$에서 $b=4$, $A=75°$, $B=45°$일 때, $c$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
삼각형의 내각의 크기의 합은 $180°$이므로
$C=180°-(75°+45°)=60°$
사인법칙에 따라 $\frac{4}{\sin 45°}=\frac{c}{\sin 60°}$이므로
$c=\sin 60°×\frac{4}{\sin 45°}=2\sqrt{6}$
[답]
$2\sqrt{6}$
2. 삼각형 $ABC$에서 $sin^2A=sin^2B+sin^2C$이면 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하시오.
[풀이과정]
삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 사인법칙에 따라
$\sin A=\frac{a}{2R}$, $\sin B=\frac{b}{2R}$, $\sin C=\frac{c}{2R}$
그런데 $sin^2A=sin^2B+sin^2C$이므로
$(\frac{a}{2R})^2=(\frac{b}{2R})^2+(\frac{c}{2R})^2$
따라서 $a^2=b^2+c^2$이므로 삼각형 $ABC$는 $A=90°$인 직각삼각형이다.
[답]
$A=90°$인 직각삼각형
3. 강을 사이에 두고 있는 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하기 위하여 $B$지점에서 $30m$ 떨어진 곳에 $C$지점을 정하였다.
두 지점 $B, C$에서 측정한 각의 크기가 각각 $\angle{ABC}=75°, \angle{ACB}=45°$일 때, 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하시오.
[풀이과정]
$A=180°-(75°+45°)=60°$이므로 사인법칙에 따라
$\frac{30}{\sin 60°}=\frac{\overline{AB}}{\sin 45°}$
$\overline{AB}=\sin 45°×\frac{30}{\sin 60°}=10\sqrt{6}(m)$
따라서 두 지점 $A, B$사이의 거리는 $10\sqrt{6}m$
[답]
$10\sqrt{6}m$
4. 삼각형 $ABC$에서 $a=3, b=\sqrt{2}, C=45°$일 때, $c$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
코사인법칙에 따라
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$
$=3^2+\(\sqrt{2}\)^2-2×3×\sqrt{2}×\cos{45°}$
$=5$
그런데 $c>0$이므로 $c=\sqrt{5}$
[답]
$c=\sqrt{5}$
5. 삼각형 $ABC$에서 $a=13, b=8, c=7$일 때, $A$의 크기를 구하시오.
[풀이과정]
코사인법칙으로부터 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{8^2+7^2-13^2}{2×8×7}=\frac-{1}{2}$
$0<x<\pi$일 때 방정식 $\cos x=-\frac{1}{2}$의 해를 구하면 $x=\frac{2}{3}\pi$
따라서 $\frac{2}{3}\pi=120°$이므로 $A=120°$
[답]
$A=120°$
6. 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하기 위하여 $C$ 지점에서 측정한 결과가
$\overline{AC}=40m, \overline{BC}=60m, \angle{ACB}=60°$이었다. 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하시오.
[풀이과정]
코사인법칙에 따라 $\overline{AB}^2=60^2+40^2-2×60×40×\cos 60°=3600+1600-4800×\frac{1}{2}=2800$
그런데 $\overline{AB}>0$이므로 $\overline{AB}=\sqrt{2800}=20\sqrt{7}$
따라서 두 지점 $A, B$ 사이의 거리는 $20\sqrt{7}m$
[답]
$20\sqrt{7}m$
수열
1. 다음 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 추측해 보시오: 4, 8, 12, 16, 20, ⋯
[풀이과정]
$a_1=4×1, a_2=4×2, a_3=4×3, a_4=4×4, a_5=4×5, ⋯$
따라서 주어진 수열 $\{a_n\}$의 알반항은 $a_n=4×n=4n$
[답]
$a_n=4n$
2. 제$5$항이 $8$, 제$11$항이 $26$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.
[풀이과정]
첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면
$a_5=a+4d=8$ ⋯⋯㉠
$a_11=a+10d=26$ ⋯⋯㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a=-4, d=3$
따라서 주어진 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은
$a_n=-4+(n-1)×3=3n-7$
[답]
$a_n=3n-7$
3. 첫째항이 $17$, 공차가 $-3$인 등차수열 $\{a_n\}$에서 처음으로 음수가 되는 항은 제몇 항인지 구하시오.
[풀이과정]
첫째항이 $17$, 공차가 $-3$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은
$a_n=17+(n-1)×(-3)=-3n+20$
$a_n<0$이면 $-3n+20<0$ $n>\frac{20}{3}=6.66⋯$
이때 $n$은 자연수이므로 처음으로 음수가 되는 항은 제$7$항이다.
[답]
제$7$항
4. 두 자리의 자연수 중에서 $6$의 배수의 합을 구하시오.
[풀이과정]
두 자리의 자연수 중에서 $6$의 배수를 작은 수부터 차례로 나열하면 $12, 18, 24, ⋯, 96$ ⋯⋯㉠
㉠은 첫째항이 $12$, 공차가 $6$인 등차수열이므로 $96$을 제$n$항이라 하면 $96=12+(n-1)×6, 6n=90, n=15$
따라서 구하는 합은 등차수열 ㉠의 첫째항부터 제$15$항까지의 합과 같으므로 $12+18+24+⋯+96=\frac{15×(12+96)}{2}=810$
[답]
$810$
5. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n=n^2-2n$일 때, 이 수열의 일반항을 구하시오.
[풀이과정]
$n≥2$일 때 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-2n)-\{(n-1)^2-2(n-1)\}=2n-3$ ⋯⋯㉠
$n=1$일 때 $a_1=S_1=1^2-2×1=-1$ ⋯⋯㉡
그런데 ㉡에 $n=1$을 대입하면 $a_1=2×1-3=-1$이므로 ㉡과 일치한다.
따라서 주어진 수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n=2n-3$
[답]
$a_n=2n-3$
6. 제$2$항이 $-6$, 제$5$항이 $48$인 등비수열 $\{a-n\}$의 일반항을 구하시오.
[풀이과정]
첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면
$a_2=ar=-6$ ⋯⋯㉠
$a_5=ar^4=48$ ⋯⋯㉡
㉡을 ㉠으로 나누면 $r^3=-8$
이때 $r$는 실수이므로 $r=-2$
이것을 ㉠에 대입하면 $a=3$
따라서 주어진 등비수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n=3×(-2)^{n-1}$
[답]
$a_n=3×(-2)^{n-1}$
7. 첫째항부터 제$3$항까지의 합이 $9$, 첫째항부터 제$6$항까지의 합이 $-63$인 등비수열의 첫째항은 제$9$항까지의 합을 구하시오.
[풀이과정]
첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하고 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하면 $S_3=9$, $S_6=-63$이므로
$S_3=\frac{a(r^3-1)}{r-1}=9$ ⋯⋯㉠
$S_6=\frac{a(r^6-1)}{r-1}=-63$ ⋯⋯㉡
㉡을 변형하면 $\frac{a(r^3-1)(r^3+1)}{r-1}=-63$ ⋯⋯㉢
㉠을 ㉢에 대힙하면 $9(r^3+1)=-63$, $r^3=-8$
이때 $r$는 실수이므로 $r=-2$
$r=-2$를 ㉠에 대입하면 $a=3$
따라서 첫째항부터 제$9$항까지의 합 $S_9$는 $S+9=\frac{3×\{1-(-2)^9\}}{1-(-2)}=513$
[답]
$513$
수열의 합
1. $\sum\limits_{k=1}^{10} a_k=10$, $\sum\limits_{k=1}^{10} b_k=5$일 때, $\sum\limits_{k=1}^{10} (2a_k+5b_k-3)$의 값을 구하시오.
[풀이과정]
$\sum\limits_{k=1}^{10} (2a_k+5b_k-3)=\sum\limits_{k=1}^{10} 2a_k+\sum\limits_{k=1}^{10} 5b_k - \sum\limits_{k=1}^1- 3$
$=2\sum\limits_{k=1}^{10} a_k+5\sum\limits_{k=1}^{10} b_k-3×10$
$=2×10+5×5-30=15$
[답]
$15$
2. $\sum\limits_{k=1}^n (k^2-k)$를 구하시오.
[풀이과정]
$\sum\limits_{k=1}^n (k^2-k)=\sum\limits_{k=1}^n k^2-\sum\limits_{k=1}^n k$
$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)(n-1)}{3}$
[답]
$\frac{n(n+1)(n-1)}{3}$
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