[고1 수학] 1학기 1차 지필평가

항	수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식	2, 2x, 2x²
상수항	특정한 문자를 포함하지 않는 항	1, 2, 3
계수	항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분	2x²에서 x²의 계수는 2,  2ab에서 b의 계수는 2a
다항식	한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식	x² - 2x +2,  xy² + 3x - 3x³ + 3
단항식	한 개의 항으로만 이루어진 식	3ab, 6x³, 9y²
차수	항에서 특정 문자가 곱해진 개수	2x³에서 x의 차수는 3,  3a⁵에서 a의 차수는 5
동류항	특정한 문자에 대하여 차수가 같은 항	A = 2x + 1, B = 3x + 2  동류항은 2x와 3x, 1과 2
내림차순	한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 타나내는 것	2x² + 2xy + 2y² + x + 2y + 2  를 x에 대한 내림차순으로 정리  → 2x² + (2y+1)x + 2y² + 2y + 2
오름차순	한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것	2x² + 2xy + 2y² + x + 2y + 2  를 x에 대한 내림차순으로 정리  → 2 + 2y + 2y² + (2y+1)x + 2x²
항등식	어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식	2x²+x+2 = 2x²+x+4-2

---

다항식의 나눗셈

$A\div{B} = Q...R$ → $A=BQ+R$
몫과 나머지를 구할 수 있다.

나머지정리

$R=P(x)\div(x-a)$ → $R=P(a)$
나머지를 구할 수 있다.

인수분해

다항식의 곱으로 나타내는 것.
조립제법을 이용한다.

조립제법

 

$(3x^3-4x^2+2x-8)$의 몫과 나머지를 구할 때,

---

허수단위

제곱하여 -1이 되는 수
$i=\sqrt{-1}$

• 복소수: $a+bi$ → $a$는 실수부분, $b$는 허수부분
• 허수: 실수가 아닌 복소수 → $a+bi (b\not=0)$
• 켤레복소수: 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 → $\overline{a+bi}$ = $a-bi$

 

$\frac{3+4i}{2+3i}$를 계산하여 $a+bi$ 꼴로 나타낼 때,
        $\frac{3+4i}{2+3i}=\frac{(3+4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$
        $=\frac{6-9i=8i-12i^2}{2^2-(3i)^2}$
        $=\frac{18-i}{13}=\frac{18}{13}-\frac{1}{13}i$

 

---

판별식

$ax^2+bx+c=0$ → $D=b^2-4ac$

1. $D>0$이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
2. $D=0$이면 중근 (서로 같은 두 실근)을 갖는다.
3. $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

 

이차방정식 $x^2-5x+2-k=0$이 서로 다른 두 허근을 가질 때, 실수 $k$의 값의 범위는
        $D=(-5)^2-4(2-k)=4k+17$
        서로 다른 두 허근을 가지려면 $D<0$이여야 하므로
        $4k+17<0$, 즉 $k<-\frac{17}{4}$

---

이차방정식의 근과 계수

$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$, $\alpha\beta=\frac{c}{a}$

 

이차함수의 그래프와 위치 관계

1. $D>0$이면 서로 다른 두 점에서 만남
2. $D=0$이면 한 점에서 만남 (접함)
3. $D<0$이면 만나지 않음 판별식을 이용함 → $(b-m)^2-4a(c-n)$

 

이차함수 $y=x^2-5x+6$의 그래프와 직선 $y=2x+k$가 한 점에서 만날 때, 실수 $k$의 값을 구하려면
        $y=2x+k$를 $y=x^2-5x+6$에 대입해
        $2x+k=x^2-5x+6$, $x^2-7x+6-k=0$
        이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면
        $D=(-7)^2-4\times1\times(6-k)$
          $=4k+25=0$
        따라서 $k=-\frac{25}{4}$

---

이차함수의 최댓값과 최솟값

$y=a(x-p)^2+q$

1. $a>0$이면 $x=p$일 때 최솟값 $q$를 갖고, 최댓값은 없음
2. $a<0$이면 $x=p$일 때 최댓값 $q$를 갖고, 최솟값은 없음

이차함수 y=ax&sup2;+bx+c의 최댓값과 최솟값

제한된 범위에서의 이차함수의 최댓값과 최솟값

1. $\alpha\leq p\leq\beta$ → $f(\alpha)$, $f(\beta)$, $f(p)$ 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값
2. $p<\alpha$ 또는 $p>\beta$ → $f(\alpha)$, $f(\beta)$ 중에서 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값

 

이차함수 $y=x^2+6x-7$의 최댓값과 최솟값을 구하고, $x$의 값을 구할 때,
        $y=x^2+6x-7=(x+3)^2-16$의 그래프는
        꼭짓점의 좌표가 $(-3, -16)$이고, 아래로 볼록한 포물선이다.
        따라서 $x=-3$에서 최솟값 $-16$을 갖고, 최댓값은 없다.