[고2 수학] 1학기 1차 연습 문제

1. $\sqrt[4]{16}$을 모두 구하시오.

[풀이과정]
$16$의 네제곱근을 $x$라 하면
$\quad x^{4}=16,\,x^{4}-16=0$
$\quad (x^{2}+4)(x+2)(x-2)=0$
이므로
$\quad x=±2$ 또는 $x=±2i$

[답]
$x=±2$ 또는 $x=±2i$

 

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2. $\sqrt[3]{5}×\sqrt[3]{25}$를 간단히 하시오.

[풀이과정]
$\sqrt[3]{5}×\sqrt[3]{25}$
$=\sqrt[3]{5×25}$
$=\sqrt[3]{5^{3}}$
$=(\sqrt[3]{5})^{3}$
$=5$

[답]
$5$

 

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$n$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$
$10^n$	$100$	$10$	$1$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$

 

3. 다음 값을 구하시오.

(1) $\sqrt{142857}^0$
(2) $2^{-3}$
(3) $2^{\frac{1}{3}}$
(4) $2^{-2\sqrt{2}}×2^{4\sqrt{2}}$

[답]
(1) $1$

(2) $\frac{1}{2^3}$

(3) $\sqrt[3]{2}$

(4) $2^{2\sqrt{2}}$

 

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4. $\log_{2}{12}$을 간단히 하시오.

 

[풀이과정]
$\log_{2}{12}$
$=\log_{2}{4}+\log_{2}{3}$
$=2\log_{2}{2}+\log_{2}{3}$
$=2+\log_{2}{3}$

[답]

$2+\log_{2}{3}$

 

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5. $\log_{10}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\log_{10}{2}$을 간단히 하시오.

[풀이과정]

$\log_{10}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\log_{10}{2}$
$\quad =\frac{1}{2}\log_{10}{5}+\frac{1}{2}\log_{10}{2}$
$\quad =\frac{1}{2}(\log_{10}{5}+\log_{10}{2})$
$\quad =\frac{1}{2}\log_{10}{(5×2)}$
$\quad =\frac{1}{2}\log_{10}{10}=\frac{1}{2}$

[답]
$\frac{1}{2}$

 

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6. 상용로그표에서 구한 $\log{2.56}=0.4082$를 이용하여 $\log{0.256}$의 값을 구하시오.

[풀이과정]
$\log{0.256}=\log{10^{-1}×2.56}$
$\quad=\log{10^{-1}+\log{2.56}}$
$\quad=-1+0.4082=-0.5918$

[답]
$-0.5918$

 

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7. 어느 지역의 하천은 하천 정화 작업으로 인해 생화학적 산소 요구량[BOD]이 매년 10%씩 감소하고 있다고 할 때,
5년 후 이 하천의 생화학적 산소 요구량은 처음의 약 몇 배인가? (단, $\log{3}=0.4771$, $\log{5.9}=0.771$로 계산한다.)

 

[풀이과정]
BOD가 매년 10%씩 감소하고 있다.
= 매년 BOD가 90% (100% - 10% = 90%)
= 매년 BOD가 이전의 0.9배

5년 후
$=0.9^5=0.59049$, 즉 처음의 약 $0.59$배

[답]
약 $0.59$배

 

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8. 정의역이 $\{x|-2≤x≤1\}$인 함수 $y=(\frac{1}{3})^{x}+1$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[풀이과정]
함수 $y=(\frac{1}{3})+1$은 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소하므로
$\quad x=-2$일 때 최댓값 $(\frac{1}{3})^{-2}+1=9+1=10$
$\quad x=1$일 때 최솟값 $(\frac{1}{3})^{1}+1=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4}{3}$
을 갖는다.

[답]
최댓값: $10$, 최솟값: $\frac{4}{3}$

 

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9. 부등식 $3^{x}≥9^{4}$를 만족하는 $x$값의 범위는?

[풀이과정]
주어진 부등식의 양변을 지수의 밑이 같아지게 변형하면
$\quad 3^{x}≥(3^{2})^{4}$, $\quad3^{x}≥3^{8}$

밑 $3$은 $1$보다 크므로
$\quad x≥8$

[답]
$x≥8$

 

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10. 방정식 $\log_{\frac{1}{2}}(2x-4)=-2$의 해는?

[풀이과정]
로그의 진수는 양수이므로
$\quad 2x-4>0$, 즉 $x>2$

로그에 정의에 따라
$\quad 2x-4=(\frac{1}{2})^-2$, 즉 $x=4$
이때 $x=4$은 진수의 조건 $x>2$를 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.

[답]
$x=4$

 

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11. 부등식 $\log_{2}(2x-4)≤\log_{2}{6}$을 만족시키는 $x$값의 범위는?

[풀이과정]
로그의 진수는 양수이므로
㉠$\quad 2x-4>0$, 즉 $x>2$

$\log_{2}(2x-4)≤\log_{2}{6}$에서 밑 $2$는 $1$보다 크므로
㉡$\quad 2x-4≤6$, 즉 $x≤5$

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 $x$의 값의 범위는
$\quad 2<x≤5$

[답]
$2<x≤5$

 

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12. $-535°$가 제몇 사분면의 각인가?

[풀이과정]
$-535°=-(360°+175°)$
$360°-175°=185°$
따라서 제$3$사분면

[답]
제$3$사분면

 

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13. 알맞은 각을 호도법 또는 육십분법으로 나타내시오.

(1) $45°=□$
(2) $-160°=□$
(3) $□=\frac{5}{6}\pi$
(4) $□=-\frac{\pi}{3}$

[풀이과정]
(1) $45°=45×\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$
(2) $-160°=-160×\frac{\pi}{180}=-\frac{8}{9}\pi$
(3) $\frac{5}{6}\pi=\frac{5}{6}\pi×\frac{180°}{\pi}=150°$
(4) $-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}×\frac{180°}{\pi}=-60°$

[답]
(1) $\frac{\pi}{4}$
(2) $-\frac{8\pi}{9}$
(3) $150°$
(4) $-60°$

 

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14. 반지름의 길이가 $4$, 중심각의 크기가 $\frac{3}{8}\pi$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하시오.

[풀이과정]
호의 길이: $4×\frac{3}{8}\pi=\frac{3}{2}\pi$
부채꼴의 넓이: $\frac{1}{2}×4^{2}×\frac{3}{8}\pi=3\pi$

[답]
호의 길이: $\frac{3}{2}\pi$
부채꼴의 넓이: $3\pi$