인공지능과 수학
[명제와 진릿값]
- [명제] 참 또는 거짓을 명확히 구분할 수 있는 문장이나 식
- [진릿값] 명제의 참과 거짓(참이면 T, 거짓이면 F)
[논리 연산자]
- 주어진 명제들을 결합하여 새로운 명제를 만들 때 사용되는 것
| 연산자 | 기호 | 뜻 |
| NOT | ~ | 명제 p가 참이면 ~p는 거짓, p가 거짓이면 ~p는 참 |
| AND | ∧ | 두 명제 p와 q가 모두 참이면 p∧q는 참, 나머지 경우는 거짓 |
| OR | ∨ | 두 명제 p와 q 중에서 하나라도 참이면 p∨q는 참, 모두 거짓인 경우는 거짓 |
| XOR | ⊕ | 두 명제 p와 q의 진릿값이 다르면 p⊕q는 참, p와 q의 진릿값이 같으면 거짓 |
[순서도]
- 문제 해결 절차를 각 단계별로 구분하고,
이들 상호 간의 관계를 알아보기 쉽게 기호를 사용하여 그림으로 나타낸 것
| 기호 | 기호의 설명 |
 |
순서도의 시작과 끝을 나타낼 때 사용한다. |
 |
각종 연산이나 데이터 이동 등의 처리 기능을 나타낸다. |
 |
자료를 비교 판단하여 조건에 따라 경우를 나눌 때 사용한다. |
 |
데이터를 문서로 출력하는 기능을 나타낸다. |
 |
기호를 연결하여 처리의 흐름을 나타내는 선이다. |
텍스트 자료의 표현과 분류
[벡터의 뜻과 성분]
- [벡터] 순서를 정하여 수를 나열한 것, 기호로 $\vec{a}$와 같이 나타냄
- [성분] 벡터 $\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$일 때, 각각의 $a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$, $|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2,\ {a_2}^2,\ \cdots,\ {a_n}^2}$
[벡터의 크기]
- 벡터 $\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$의 크기는 기호로 $|\vec{a}|$와 같이 나타내고
$|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2}$이다.
[두 벡터 사이의 거리]
- 두 벡터 $\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$, $\vec{b}=(b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n)$ 사이의 거리는 기호로 $|\vec{a}-\vec{b}|$와 같이 나타내고
$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2}$이다.
[서로 같은 벡터]
- 두 벡터 $\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$, $\vec{b}=(b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n)$이 서로 같으면 대응하는 성분끼리 서로 같다.
즉, $\vec{a}=\vec{b} \Longleftrightarrow a_1=b_1,\ a_2=b_2,\ \cdots,\ a_n=b_n$이다.
[벡터의 덧셈]
| $\vec{a}$ | + |
$\vec{b}$ | = |
$\vec{a}+\vec{b}$ |
| $(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)$ | $(b_1, \, b_2, \, \cdots, \, b_n)$ | $(a_1+b_1, \, a_2+b_2, \, \cdots a_n+b_n)$ | ||
| (-4, 3, 5) | (2, 4, 1) | (-4+2, 3+4, 5+1) = (-2, 7, 6) |
[벡터의 뺄셈]
| $\vec{a}$ | - |
$\vec{b}$ | = |
$\vec{a}-\vec{b}$ |
| $(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)$ | $(b_1, \, b_2, \, \cdots, \, b_n)$ | $(a_1-b_1, \, a_2-b_2, \, \cdots a_n-b_n)$ | ||
| (-4, 3, 5) | (2, 4, 1) | (-4-2, 3-4, 5-1) = (-6, -1, 4) |
[벡터의 실수배]
| $\vec{a}$ | $k\vec{a}$ | $0\vec{a}$ | $(-1)\vec{a}$ |
| $(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)$ | $(ka_1, \, ka_2, \, \cdots, \, ka_n)$ | $(0, \, 0, \, \cdots, \, 0)$ | $(-a_1, \, -a_2, \, \cdots, \, -a_n)$ |
| (-4, 3, 5) | (-4k, 3k, 5k) | (0, 0, 0) | (4, -3, -5) |
이미지 자료의 표현과 분류
[행렬의 뜻]
- [행렬] 여러 개의 수 또는 문자를 직사각형 꼴로 배열하여 괄호로 묶어 나타낸 것
- [성분] 행렬을 이루는 각각의 수나 문자
[$m×n$ 행렬]
- [행] 성분의 가로줄(위에서부터 차례로 제$1$행, 제$2$행, 제$3$행, $\cdots$)
- [열] 성분의 세로줄(왼쪽에서부터 차례로 제$1$열, 제$2$열, 제$3$열, $\cdots$)
| 제$1$열 | 제$2$열 | 제$3$열 | |
| 제$1$행 | 2 | 4 | 1 |
| 제$2$행 | 5 | 3 | 6 |
- [$m×n$ 행렬] $m$개의 행과 $n$개의 열로 이루어진 행렬
[행렬의 $(i,\ j)$성분]
- [$(i,\ j)$성분] 행렬 $A$에서 제$i$행과 제$j$열이 만나는 위치에 있는 성분, 기호로 $a_{ij}$와 같이 나타냄
[서로 같은 행렬]
- [같은 꼴] 두 행렬 $A,\ B$에서 행의 수와 열의 수가 각각 같을 때, 두 행렬 $A,\ B$
[행렬의 덧셈]
| $A$ | + |
$B$ | = |
$A+B$ |
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} {4} & {-5} \\ {-2} & {1} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {1} & {3} \\ {6} & {4} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {5} & {-2} \\ {4} & {5} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ |
[행렬의 뺄셈]
| $A$ | - |
$B$ | = |
$A-B$ |
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} {4} & {-5} \\ {-2} & {1} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {1} & {3} \\ {6} & {4} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {3} & {-8} \\ {-8} & {-3} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ |
[행렬의 실수배]
| $A$ | $kA$ | $0A$ | $(-1)A$ |
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & -a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ |
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} {4} & {-5} \\ {-2} & {1} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {4k} & {-5k} \\ {-2k} & {k} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {-4} & {5} \\ {2} & {-1} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ |
[$2×2$ 행렬의 곱셈]
| $A$ | × | $B$ | = |
$AB$ |
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\ \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} {4} & {-5} \\ {-2} & {1} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} {1} & {3} \\ {6} & {4} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{pmatrix} -26 & -8 \\ 4 & -2 \\ \end{pmatrix}$ |
[$m×n$ 행렬의 곱셈]
| $A$ | × | $B$ | = |
$AB$ |
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \\ \end{pmatrix}$ | ||
| $\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 8 & 3 \\ 9 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ | $\begin{equation} \begin{pmatrix} 45 & 12 \\ 102 & 27 \\ \end{pmatrix} \end{equation}$ |
경향성과 예측
[확률의 뜻]
- 사건이 일어날 수 있는 가능성의 정도, $(사건\ A가\ 일어날\ 확률) = \frac{(사건\ A가\ 일어나는\ 경우의\ 수)}{(모든\ 경우의\ 수)}$
[조건이 주어진 확률]
- 사건 $A$가 일어났을 때, 사건 $B$가 일어날 확률은 $\frac{(사건\ A와\ B가\ 동시에\ 일어나는\ 경우의\ 수)}{(사건\ A가\ 일어나는\ 경우의\ 수)}$
[산점도]
- 두 변량의 순서쌍을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타낸 그래프
[상관관계]
- 두 변량 $x,\ y$ 사이에 $x$의 값이 증가함에 따라 $y$의 값이 증가하거나 감소하는 경향이 있을 때 상관관계가 있음
최적화와 의사 결정
[함수의 극한]
- 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때,
$f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 함 - $L$을 $x=a$에서의 함수 $f(x)$의 극한값 또는 극한이라 함,
기호로 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ 또는 $x \to a$일 때 $f(x) \to L$과 같이 나타냄
[접선의 기울기와 미분계수]
- 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\ f(a)\ )$에서의 접선의 기울기는 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$와 같음
- 이때 극한값 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$를 함수 $y=f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수라 함, 기호로 $f'(a)$와 같이 나타냄
[이차함수의 미분계수]
- 이차함수 $f(x)=ax^2+bx+c$의 $x=t$에서의 미분계수 $f'(t)=2at+b$
[접선의 방정식]
- 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(a,\ f(a)\ )$에서의 접선의 기울기는 $f'(a)$이므로
점 $P$에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f'(a)\ (x-a)